Persamaan Schrodinger untuk partikel bebas

Dalam domain 3D, persamaan Schroodinger dapat dituliskan sebagai

−ℏ22m∇2ψ(r⃗ )=Eψ(r⃗ )∇2ψ(r⃗ )=−2mℏ2Eψ(r⃗ )=−k2ψ(r⃗ )

Dengan melakukan separasi variabel kita dapat menganggap solusi persamaan di atas sebagai

ψ(r⃗ )=ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)

Sehingga persaman Shcroodinger dapat dituliskan menjadi

(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)Z(x)Y(y)Z(z)=−k2X(x)Y(y)Z(z)

atau jika dibagi dengan X(x)Y(y)Z(z) diperoleh

1X(x)∂2X(x)∂x2+1Y(y)∂2Y(y)∂y2+1Z(z)∂2Z(z)∂z2=−k2

Jika k2 dinyatakan sebagai

k2=k2x+k2y+k2z

Maka akan diperoleh

[1X(x)∂2X(x)∂x2+k2x]+[1Y(y)∂2Y(y)∂y2+k2y]+[1Z(z)∂2Z(z)∂z2+k2z]=0

Karena masing-masing suku pada persamaan di atas hanya bergantung pada satu variabel, sehingga agar secara simultan penjumlahan ketiga suku menghasilkan nilai nol untuk berapapun nilai x,y,z yang dimasukkan maka masing-masing suku haruslah sama dengan nol. Atau

1X(x)∂2X(x)∂x2+k2x=0⇒X(x)=A1eikxx

1Y(y)∂2Y(y)∂y2+k2y=0⇒Y(y)=A2eikyy

1Z(z)∂2Z(z)∂z2+k2z=0⇒Z(z)=A3eikzz

Yang mana ketiganya merupakan fungsi harmonik. Jadi dengan mensubstitusikan hasil ini pada asumsi sebelumnya diperoleh penyelesaian persamaan Schroodinger untuk kasus partikel bebas dalam domain 3D yakni

ψ(r⃗ )=X(x)Y(y)Z(z)=Aei(kxx+kyy+kzz)=Aeik⃗ ⋅r⃗ 

dengan

|k⃗ |2=k2x+k2y+k2z

yang mana memberikan nilai energi sebagai

E=ℏ22m(k2x+k2y+k2z)