Gerak Dalam 1 Dimensi

Untuk mempermudah pembahasan tentang gerakan, kita akan mulai dengan benda-benda yang posisinya dapat digambarkan dengan menentukan posisi satu titik. Benda semacam itu dinamakan partikel. Orang cendrung membayangkan partikel sebagai benda yang sangat kecil, namun sebenarnya tidak ada batas ukuran yang ditetapkan oleh kata partikel. Sebagai contoh kadang-kadang lebih enak bila mengganggap bumi sebagai partikel yang bergerak mengeliling matahari dalam lintasan yang menyerupai lingkaran (tentunya jika dilihat dari planet atau galaksi lain yang jauh bumi memang akan terlihat seperti sebuah titik kecil). Dalam kasus ini kita tertarik untuk melihat lintasan pusat bumi mengelilingi matahari sehingga ukuran dan rotasi bumi dapat kita abaikan.Dalam beberapa persoalan astronomi bahkan keseluruhan tata surya dan galaksi dapat dianggap sebagai sebuah partikel, Namun bila kita menganalisa rotasi atau struktur internal dari bumi, maka kita tidak dapat lagi memperlakukan bumi sebagai sebuah partikel tunggal. Tetapi pelajaran kita tentang gerakan partikel tetap berguna, bahkan dalam kasus-kasus ini sekalipun, karena benda apapun, tak peduli betapa rumitnya dapat dianggap sebagai kumpulan atau sistem partikel.

1.      Kelajuan, perpindahan dan kecepatan.

Kelajuan rata-rata partikel didefinisikan sebagai perbandingan jarak total yang ditempuh terhadap waktu total yang dibutuhkan atau secara matematis dapat ditulis :

Satuan SI kelajuan rata-rata adalah meter/sekon (m/s) dan satuan lazin di US adalah feet/sekon (ft/s). satuan kelajuan sehari-hari di US adalah mile/jam sedangkan dalam SI dikenal dengan km/jam.

Jika anda menempuh 200 km dalam 5 jam, maka kelajuan rata-rata anda adalah : 200/50 = 40 km/jam. Kelajuan rata-rata tidak menceritakan apa-apa tentang rincian perjalanan itu. Anda mungkin berkendaraan dengan kelajuan tetap 40 km/jam selama 5 jam atau mungkin anda berkendaraan cepat selama sebagian waktu dan lebih lambat selama sisa waktunya atau mungkin anda telah berhenti untuk 1 jam dan kemudian berkendaraan dengan kelajuan berubah-ubah selama 4 jam yang lainnya.

Sedangkan untuk konsep kecepatan sama dengan konsep kelajuan tetapi berbeda karena kecepatan mencakup arah gerakan. Agar mengerti konsep ini, terlebih dahulu akan diperkenalkan konsep perpindahan. Mari kita buat sebuah sistem koordinat dengan memilih titik acuan pada sebuah garis dengan titik asal O. untuk tiap titik lain pada garis itu kita tetapkan sebuah bilangan x yang menunjukkan seberapa jauhnya titik itu dari titik asal. Nilai x bergantung pada satuan (feet, meter atau apapun) yang dipilih untuk mengukur jaraknya. Tanda x bergantung pada posisi relatifnya terhadap titik asal O. kesepakatan yang biasanya kita pilih adalah titik-titik di kanan titik asal diberi nilai positif dan titik-titik dikirinya diberi nilai negatif.

Gambar 1 berikut ini menunjukkan sebuah titik yang berada pada posisi x₁ pada saat t₁ dan berada pada posisi x₂ pada saat t₂. Posisi partikel dari titik x₂ – x₁ disebut perpindahan partikel. Biasanya digunakan huruf Yunani delta (∆) untuk menyatakan perubahan kuantitas, jadi perubahan x dapat ditulis menjadi ∆x atau secara matematis dapat ditulis :

Gambar 1 perpindahan partikel dari x₁ ke x₂

Kecepatan adalah laju perubahan posisi. Kecepatan rata-rata partikel didefinisikan sebagai perbandingan antara perpindahan (∆x) dengan selang waktu (∆t = t₂ – t₁). Atau dapat ditulis dalam bentuk rumus :

Perhatikan bahwa perpindahan dan kecepatan rata-rata dapat bernilai positif atau negatif, bergantung pada nilai x₂ dan x₁. Sesuai dengan perjanjian nilai positif menyatakan partikel bergerak ke kanan dan nilai negatif menyatakan partikel bergerak ke kiri.

Perhatikan gambar 2 berikut ini. Pada gambar ini terlihat sebuah lintasan partikel yang berbentuk kurva dalam bidang koordinat x terhadap t, dimana x menyatakan jarak dan t menyatakan waktu. Tiap titik pada kurva mempunyai nilai x, yang merupakan lokasi partikel pada saat tertentu, dan sebuah nilai t, yang merupakan saat partikel berada dilokasi tersebut. Pada grafik kita gambar garis lurus antara posisi yang dinamai P₁­ dan posisi yang dinamai P₂, perpindahan ∆x = x₂ – x₁ dalam selang waktu ∆t = t₂ – t₁ . garis lurus yang menghubungkan P₁ dan P₂ adalah sebuah sisi miring segitiga yang memiliki sisi tegak lurus ∆x dan sisi datar ∆t. Rasio ∆x/∆t adalah kemiringan (gradien) garis lurus ini. Dalam istilah goemetri, kemiringan ini merupakan ukuran kecuraman garis lurus pada grafik. Untuk selang waktu tertentu ∆t, makin curam garisnya, makin besar nilai ∆x/∆t. Karena kemiringan garis ini adalah kecepatan rata-rata untuk selang waktu ∆t, maka kita mempunyai tampilan bentuk geometrik untuk kecepatan rata-rata.

Gambar 2 grafik x terhadap

2.     Kecepatan sesaat

Kecepatan sesaat pada saat tertentu adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung kurva x terhadap t pada saat itu. Gambar 3 adalah kurva x terhadap t yang sama seperti pada gambar 2 yang menunjukkan ururtan selang waktu ∆t, ∆t₁, ∆t₂, ∆t₃,….. yang masing-masing lebih kecil daripada selang sebelumnnya. Untuk tiap selang waktu ∆t, kecepatan rata-rata adalah kemiringan garis lurus yang sesuai untuk selang itu. Gambar menunjukkan bahwa, jika selang waktu menjadi lebih kecil, garis lurusnya menjadi semakin curam, tetapi garis tersebut tak pernah lebih miring dari pada garis singgung pada kurva t_­1. Kemiringan garis singgung ini kita definisikan sebagai kecepatan sesaat pada t₁.

Gambar 3 grafik x versus t dari gambar 2

Penting disadari bahwa perpindahan ∆x bergantung pada selang waktu ∆t. Ketika ∆t mendekati nol, demikian juga ∆x (seperti dapat dilihat dari gambar 3), rasio ∆x/∆t mendekati kemiringan garis yang menyinggung pada kurva. Karena kemiringan garis singgung adalah limit rasio ∆x/∆t jika t mendekati nol. Kita dapat menyatakan kembali definisi kita sebagai berikut :

Kecepatan sesaat adalah limit rasio ∆x/∆t jika ∆t mendekati nol atau secara matematis dapat ditulis :

Limit ini dinamakan turunan x terhadap t dalam notasi kalkulus ditulis  :

Kemiringan ini dapat positif (x bertambah besar) atau dapat juga negatif (x bertambah kecil), dengan demikian dalam gerak satu dimensi , kecepatan sesaat dapat bernilai positif maupun negatif. Besarnya kecepatan sesaat disebut kelajuan sesaat.

3.     Percepatan

Bila kecepatan sesaat sebuah partikel berubah seiring dengan berubahnya waktu, maka partikel dikatakan dipercepat. Percepatan rata-rata untuk suatu selang waktu tertentu ∆t = t₂ – t₁ didefinisikan sebagai rasio ∆v/∆t dengan ∆v = v₂ – v₁ adalah perubahan kecepatan sesaat untuk selang waktu tersebut.

Dimensi percepatan adalah panjang dibagi (waktu) ². Satuan yang umum adalah meter per sekon kwadrat atau ditulis m/s². Artinya bila suatu benda dipercepat dengan percepatan 10 m/s², maka tiap detik , kecepatan benda tersebut bertambah sebesar 10 m/s. misalnya pada saat t=0; v = 0 maka untuk detik pertama (t=1) maka kecepatan benda menjadi 10 m/s, untuk detik kedua (t=2) kecepatan benda menjadi 20 m/s dan seterusnya.

4.     Percepatan sesaat

Percepatan sesaat adalah limit (rasio ∆v/∆t) dengan ∆t mendekati nol. Jika kita gambar grafik kecepatan terhadap waktu , percepatan sesaat pada saat t didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva pada saat itu

Jadi percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu. Notasi kalkulus untuk turunan ini adalah dv/dt. Karena kecepatan adalah turunan posisi x terhadap waktu t, percepatan adalah turunan kedua  x terhadap waktu t, yang biasanya ditulis d²x/dt². Kita dapat melihat alasan notasi semacam ini dengan menulis percepatan sebagai dv/dt dan mengganti v dengan dx/dt:

Jika kecepatan konstan maka percepatan akan sama dengan nol atau ∆v = 0 untuk seluruh selang waktu. Dalam hal ini kemiringan kurva x terhadap t yang bersangkutan tidak berubah. Secara matematik hubungan, percepatan, kecepatan, jarak dan waktu dapat dijabarkan sebagai berikut :

Perubahan jarak terhadap waktu adalah kecepatan :

Perubahan kecepatan terhadap waktu adalah percepatan :

Sumber :

1. Tipler; Fisika untuk sains dan teknik jilid 1, Erlangga

2. Halliday Resnick, Fiska jilid 1, Erlangga

Gerak dengan percepatan konstan

Di sekitar kita banyak dijumpai gerak dengan percepatan konstan, misalnya gerak jatuh bebas sebuah benda. Pada saat benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu, maka benda tersebut akan mengalami percepatan yang besarnya tetap yaitu sebesar percepatan gravitasi bumi (9,81 m/s² atau 32 ft/s²).

Gerak dengan percepatan konstan akan memiliki kemiringan kurva v terhadap t yang konstan artinya kecepatan berubah secara linier terhadap waktu. Jika nilai kecepatan awal adalah v₀ pada saat t = 0, nilai v pada saat t berikutnya diberikan oleh :

Jika partikel memulai gerakan di x₀ pada saat t =0 dan posisinya adalah x pada saat t, perpindahan ∆x = x– x₀ diberikan oleh :

Kecepatan rata-rata dapat dihitung dengan persamaan :

Jadi perpindahan adalah :

Bila v = v₀ + at maka kita mendapatkan persamaan perpindahan adalah :

Bila diketahui t  = (v – v₀)/a maka didapat :

Jika tiap ruas dikalikan dengan a dan tiap sukunya dijabarkan, maka akan didapat :

Integrasi

Bagaimana caranya kita mendapatkan fungsi kecepatan dan percepatan dari suatu fungsi posisi yang diketahui lewat diferensiasi. Persoalan kebalikannya adalah mendapatkan fungsi posisi x bila diketahui kecepatan v atau percepatan a. Untuk melakukan hal ini kita menggunakan sebuah prosedur yang dinamakan integrasi. Contoh mendapatkan nilai kecepatan dan posisi dari percepatan yang diberikan. Jika kita mengetahui percepatan  itu sebagai fungsi waktu, kita dapat menemukan kecepatan dengan mencari fungsi v(t) yang turunannya adalah percepatan. Sebagai contoh jika percepatan konstan

Maka kecepatan adalah fungsi waktu yang bila dideferensiasikan sama dengan konstanta ini. Fungsi semacam ini adalah :

Namun persamaan ini bukanlah persamaan yang paling umum untuk v yang akan memenuhi hubungan dv/dt = a. Secara khusus kita dapat menambahkan sembarangan konstanta pada at tanpa mengubah nilai turunannya terhadap waktu. Dengan menamakan konstanta ini v_o, kita mendapatkan :

Konstanta v₀ adalah kecepatan awal. Fungsi posisi x adalah fungsi yang turunannya adalah kecepatan:

Kita dapat mengolah tiap suku secara terpisah, fungsi yang turunannya terhadap waktu adalah konstanta v₀ adalah v₀t ditambah dengan sebuah konstanta sembarang. Sedangkan fungsi yang turunannya at adalah 1/2at² ditambah dengan sebuah konstanta sembarang. Dengan menggabungkan hasil integrasi ini dan menambahkan sebuah konstanta gabungan sembarang x₀ maka kita mendapatkan :

Bilamana kita mendapatkan sebuah fungsi dari turunannya maka kita juga harus menyertakan sebuah konstanta sembarang dalam fungsi umumnya. Karena kita harus melakukan 2 kali proses integrasi untuk mendapat x(t) dari fungsi a(t) maka muncul 2 buah konstanta. Konstanta-konstanta ini biasanya ditentukan dari kecepatan dan posisi pada suatu saat tertentu, yang biasanya dipilih pada saat t = 0. Oleh sebab itu kedua konstanta itu disebut kondisi awal.