Segitiga Pascal

     Dalam matematika, segitiga Pascal adalah suatu susunan geometrik koefisien binomial dalam segitiga. Ini diberi nama sepertin nama matematikawan Perancis yang menemukannya, Blaise Pascal.

     Barisan segitiga Pascal secara konvensional disebutkan baris dimulai dengan 0, dan angka pada tiap baris biasanya terhubung relatif terhadap angka-angka di baris yang berdekatan. Sebuah konstruksi sederhana dari hasil segitiga dengan cara sebagai berikut. Pada baris 0, hanya menulis angka 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur berikut baris, menambahkan nomor langsung di atas dan ke kiri dengan nomor langsung di atas dan ke kanan untuk menemukan nilai baru. Jika salah satu nomor ke kanan atau kiri tidak ada, pengganti nol di tempatnya. Sebagai contoh, nomor pertama pada baris pertama adalah 0 + 1 = 1, sedangkan nomor 1 dan 3 di baris ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 di baris keempat.

   =    

    Segitiga Pascal memiliki generalisasi dimensi yang lebih tinggi. Versi tiga dimensi disebut Pascal piramida atau tetrahedron Pascal, sedangkan versi umum disebut simplices Pascal.

     Satuan angka yang berbentuk segitiga Pascal yang terkenal sebelum Pascal. Tapi, Pascal dikembangkan dengan banyak aplikasi dan itu adalah yang pertama untuk mengatur semua informasi yang bersama di risalahnya, Traité du arithmétique(1653). Angka-angka awalnya muncul dari studi Hindu kombinatorik dan nomor binomial dan mempelajari orang-orang Yunani nomor figuran.

     Penggambaran eksplisit awal dari sebuah segitiga koefisien binomial terjadi pada abad ke-10 di usulkan pada Shastra Chandas, sebuah buku kuno India pada proso di bahasa Sanskerta ditulis oleh pingala antara abad ke-5 dan ke-2 SM. Sementara pekerjaan pingala hanya bertahan dalam bentuk fragmen, komentator Halayudha, sekitar 975, segitiga digunakan untuk menjelaskan referensi jelas untuk Meru-prastaara, "Tangga Gunung Meru". Itu juga menyadari bahwa dangkal Diagonal-diagonal jumlah segitiga ke nomor Fibonacci.

     Pada sekitar waktu yang sama, itu dibahas di Persia (Iran) oleh matematikawan Persia, Al-Karaji (953-1029). Ia kemudian diulang oleh-penyair astronom matematikawan Persia-Omar Khayyām (1048-1131) ; sehingga segitiga tersebut disebut sebagai segitiga Khayyam di Iran. Beberapa teorema yang berkaitan dengan segitiga dikenal, termasuk teorema binomial. Khayyam menggunakan metode untuk menemukan akar ke-n berdasarkan ekspansi binomial, dan oleh karena itu pada koefisien binomial.

     Pada abad ke-13, Yang Hui (1238-1298) disajikan segitiga aritmetika yang sama dengan segitiga Pascal. segitiga Pascal disebut segitiga Yang Hui di China.

Petrus Apianus (1495-1552) diterbitkan segitiga pada gambar muka buku tentang perhitungan bisnis di abad ke-16. Ini adalah catatan pertama dari segitiga di Eropa.

Di Italia, ini disebut sebagai segitiga Tartaglia's, dinamai dari aljabar Niccolò Tartaglia Fontana Italia (1500-1577). Tartaglia dikreditkan dengan rumus umum untuk menyelesaikan polinomial kubik (yang dapat benar-benar dari Scipione del Ferro tetapi diterbitkan oleh Gerolamo Cardano 1545).

Traité du segitiga arithmétique (Treatise on Aritmetika Triangle) telah diterbitkan secara anumerta pada tahun 1665. Dalam Pascal Treatise dikumpulkan beberapa hasil kemudian diketahui tentang segitiga, dan mempekerjakan mereka untuk memecahkan masalah dalam teori probabilitas. segitiga itu kemudian dinamai Pascal oleh Pierre Raymond de Montmort (1708) yang menyebutnya "Tabel de M. Pascal menuangkan combinaisons les" (Perancis: Daftar Mr Pascal untuk kombinasi) dan Abraham de Moivre (1730) yang menyebutnya " Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM "(Latin: Segitiga Pascal Aritmatika), yang menjadi nama modern.

Segitiga Yang Hui (Pascal)

Pascal Blaise

Persamaan Maxwell

     Persamaan Maxwell adalah himpunan empat persamaan diferensial parsial yang mendeskripsikan sifat-sifat medan listrik dan medan magnet dan hubungannya dengan sumber-sumbernya, muatan listrik dan arus listrik, menurut teori elektrodinamika klasik. Keempat persamaan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Secara terpisah, keempat persamaan ini masing-masing disebut sebagai Hukum Gauss, Hukum Gauss untuk magnetisme, Hukum induksi Faraday, dan Hukum Ampere.
Keempat persamaan ini dengan Hukum Lorentz merupakan kumpulan hukum lengkap dari elektrodinamika klasik.

     Hukum Gauss menerangkan bagaimana muatan listrik dapat menciptakan dan mengubah medan listrik. Medan listrik cenderung untuk bergerak dari muatan positif ke muatan negatif. Hukum Gauss adalah penjelasan utama mengapa muatan yang berbeda jenis saling tarik-menarik, dan yang sama jenisnya tolak-menolak. Muatan-muatan tersebut menciptakan medan listrik, yang ditanggapi oleh muatan lain melalui gaya listrik

     Hukum Gauss untuk magnetisme menyatakan tidak seperti listrik tidak ada partikel "kutub utara" atau "kutub selatan". Kutub-kutub utara dan kutub-kutub selatan selalu saling berpasangan.

      Hukum induksi Faraday mendeskripsikan bagaimana mengubah medan magnet dapat menciptakan medan listrik. Ini merupakan prinsip operasi banyak generator listrik. Gaya mekanik (seperti yang ditimbulkan oleh air pada bendungan) memutar sebuah magnet besar, dan perubahan medan magnet ini menciptakan medan listrik yang mendorong arus listrik yang kemudian disalurkan melalui jala-jala listrik.

      Memori inti magnetik An Wang (1954) adalah penerapan Hukum Ampere. Tiap inti magnetik merupakan satu bit. Hukum Ampere menyatakan bahwa medan magnet dapat ditimbulkan melalui dua cara: yaitu lewat arus listrik (perumusan awal Hukum Ampere), dan dengan mengubah medan listrik (tambahan Maxwell). Koreksi Maxwell terhadap Hukum Ampere cukup penting: dengan demikian, hukum ini menyatakan bahwa perubahan medan listrik dapat menimbulkan medan magnet, dan sebaliknya.

       Dengan demikian, meskipun tidak ada muatan listrik atau arus listrik, masih dimungkinkann buat memiliki gelombang osilasi medan magnet dan medan listrik yang stabil dan dapat menjalar terus-menerus. Keempat persamaan Maxwell ini mendeskripsikan gelombang ini secara kuantitatif, dan lebih lanjut lagi meramalkan bahwa gelombang ini mestilah memiliki laju tertentu yang universal. Laju ini dapat dihitung cukup dari dua konstanta fisika yang dapat diukur (konstanta elektrik dan konstanta magnetik).

     Laju yang dihitung untuk radiasi elektromagnetik tepat sama dengan laju cahaya. Cahaya memang merupakan salah satu bentuk radiasi elektromagnetik (seperti juga sinar X, gelombang radio dan lain-lainnya). Dengan demikian, Maxwell memadukan dua bidang yang sebelumnya terpisah, elektromagnetisme dan optika.

pasang iklan???

lihat facebook atau twitter saya,klo tertarik contak aja disana,,
masalah yang lain-lain nanti di negoisasikan.........

Momen Inersia

         Momen inersia (Satuan SI : kg m²) adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain. Meskipun pembahasan skalar terhadap momen inersia, pembahasan menggunakan pendekatan tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih rumit seperti gerakan giroskopik.

         Lambang dan kadang-kadang juga biasanya digunakan untuk merujuk kepada momen inersia.Konsep ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum pada tahun 1730. Dalam buku tersebut, dia mengupas momen inersia dan banyak konsep terkait.

Definisi Skalar 

            Definisi sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh rumus:

di mana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

Analisis

           Momen inersia (skalar) sebuah massa titik yang berputar pada sumbu yang diketahui didefinisikan oleh

                   Momen inersia adalah aditif. Jadi, untuk sebuah benda tegar yang terdiri atas N massa titik m_i dengan jarak r_i terhadap sumbu rotasi, momen inersia total sama dengan jumlah momen inersia semua massa titik:

                   Untuk benda pejal yang dideskripsikan oleh fungsi kerapatan massa ρ(r), momen inersia terhadap sumbu tertentu dapat dihitung dengan mengintegralkan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi, dikalikan dengan kerapatan massa pada suatu titik di benda tersebut:

di mana

V adalah volume yang ditempati objek

ρ adalah fungsi kerapatan spasial objek

r = (r,θ,φ), (x,y,z), atau (r,θ,z) adalah vektor (tegaklurus terhadap sumbu rotasi) antara sumbu rotasi dan titik di benda tersebut.

Diagram perhitungan momen inersia sebuah piringan. Di sini k adalah 1/2 dan adalah jari-jari yang digunakan untuk menentukan momen inersia

 

 

Berdasarkan analisis dimensi saja, momen inersia sebuah objek bukan titik haruslah mengambil bentuk:

di mana

M adalah massa

R adalah jari-jari objek dari pusat massa (dalam beberapa kasus, panjang objek yang digunakan)

k adalah konstanta tidak berdimensi yang dinamakan "konstanta inersia", yang berbeda-beda tergantung pada objek terkait.

Konstanta inersia digunakan untuk memperhitungkan perbedaan letak massa dari pusat rotasi. Contoh:

• k = 1, cincin tipis atau silinder tipis di sekeliling pusat
• k = 2/5, bola pejal di sekitar pusat
• k = 1/2, silinder atau piringan pejal di sekitar pusat.

Prinsip Hamilton

             Jika ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun sayang, tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Pendekatan Newtonian memerlukan informasi gaya total yang beraksi pada partikel. Gaya total ini merupakan keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel, termasuk juga gaya konstrain.

          Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui, maka pendekatan Newtonian tak berlaku. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan menggunakan prinsip Hamilton, dimana persamaan Lagrange yakni persamaan umum dinamika partikel dapat diturunkan dari prinsip tersebut.

            Prinsip Hamilton mengatakan, "Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem dinamis untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik (konsisten dengan sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik dengan energi potensial.".

Persamaan Langrange

            Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi.

           Jika didefinisikan Lagrangian sebagai selisih antara energi kinetik dan energi potensial. Dari prinsip Hamilton, dengan mensyaratkan kondisi nilai stasioner maka dapat diturunkan persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum, dan mungkin waktu. Kegayutan Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari kegayutan konstrain terhadap waktu atau dikarenakan persamaan transformasi yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya, persamaan Lagrange ekivalen dengan persamaan gerak Newton, jika koordinat yang digunakan adalah koordinat kartesian.

Mengapa perlu Formulasi Langrangian?

        Dalam mekanika Newtonian, konsep gaya diperlukan sebagai kuantitas fisis yang berperan dalam aksi terhadap partikel. Dalam dinamika Lagrangian, kuantitas fisis yang ditinjau adalah energi kinetik dan energi potensial partikel. Keuntungannya, karena energi adalah besaran skalar, maka energi bersifat invarian terhadap transformasi koordinat.

         Dalam kondisi tertentu, tidaklah mungkin atau sulit menyatakan seluruh gaya yang beraksi terhadap partikel, maka pendekatan Newtonian menjadi rumit pula atau bahkan tak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, pada perkembangan berikutnya dari mekanika, prinsip Hamilton berperan penting karena ia hanya meninjau energi partikel saja.

Teori Relativitas Khusus

Ada dua alasan mengapa teori ini dibahas. Pertama, Albert Einstein (1879 – 1955) membuat penafsiran yang sama sekali baru, yang menandai berakhirnya kejayaan fisika klasik. Einstein (diucapkan: ainsytain) mengubah secara revolusioner cara memandang atau menafsirkan hasil observasi Albert Abraham Michelson (1852 – 1931). Alasan yang kedua, ialah mencoba memperkenalkan kepada para pembaca yang kebetulan kurang begitu senang pada persamaan-persamaan dan rumus-rumus, karena tidak mempunyai latar belakang penguasaan matematika, utamanya kalkulus tensor.

Dalam tahun 1687 Sir Isaac Newton (1642 – 1727) memformulasikan sebuah teori yang dikenal dengan Prinsip Relativitas Newton, yang demikian bunyinya: Gerak benda-benda dalam suatu sistem akan sama keadaannya, apakah sistem itu dalam keadaan diam, ataupun dalam keadaan bergerak lurus beraturan. Newton menyertai teorinya ini dengan keyakinan tentang adanya sebuah sistem yang diam secara mutlak, jauh di dalam pusat alam yang menjadi titik pusat alam semesta. Mengapa Newton harus yakin dan menganggap perlu benar tentang adanya pusat alam semesta yang diam secara mutlak itu, ialah untuk dijadikan koordinat mutlak yang menjadi landasan bagi setiap benda yang bergerak.

Sejalan dengan perkembangan pemikiran tentang masalah sistem koordinat mutlak dalam mekanika klasik itu, pada pihak lain di bidang fisika klasik terjadi pula proses pemikiran mengenai penafsiran cahaya. Dalam tahun 1690 Christian Huygens (1629 – 1695) mengemukakan sebuah teori bahwa cahaya itu suatu sistem gelombang. Gelombang itu pada hakekatnya adalah getaran yang menjalar. Jadi harus ada zat yang bergetar, padahal ruang semesta itu vakum. Lahirlah hipotesa Aether, zat halus yang mengisi penuh alam semesta yang menjadi medium tempat gelombang cahaya itu dapat menjalar.

Kemudian timbullah pemikiran untuk menjadikan Aether itu sistem koordinat mutlak yang dicari-cari Newton itu. Dalam tahun 1881 Albert Abraham Michelson (1852 – 1931) melakukan percobaan dengan alat interferemeter. Ia ingin mengetahui berapa kecepatan bumi terhadap sistem koordinat mutlak Aether itu. Percobaan itu diulangi lagi bersama-sama dengan Morley dalam tahun 1887, sehigga percobaan itu lebih dikenal dengan percobaan Michelson-Morley. Hasil percobaan Michelson-Morley menunjukkan bahwa kecepatan bumi terhadap Aether adalah nol, Jadi bumi sama sekali tidak bergerak terhadap Aether yang diam secara mutlak itu. Para pakar terperanjat, kecewa, bahkan ada yang demikian bingungnya sehingga ingin memutar kembali jarum jam ke tiga abad yang silam, kembali ke faham geosentris, bumi sebagai pusat alam. Ilmu fisika menjelang akhir abad ke 19 menemui jalan buntu.

Walaupun Einstein tidak pernah (atau mungkin sudah pernah?) membaca S. Yasin 40 Kullun fiy Falakin Yasbahuwna, tiap-tiap sesuatu berenang dalam jalurnya, Einstein bertolak dari pandangan tidak ada sistem koordinat yang diam secara mutlak. Semua benda bergerak relatif antara satu dengan yang lain. Kemudian Einstein menunjuk kepada fenomena alam yang didapatkan oleh FitzGerald. Apabila kita memegang sebuah batang apa saja di bumi ini dan batang itu letaknya melintang terhadap gerak bumi, lalu tiba-tiba kita mengubah letak batang tersebut membujur jadi searah dengan gerak bumi, maka batang itu akan mengalami perpendekan. Gejala ini disebut kontraksi FitzGerald. Atas dasar penemuan Fitzgerald, Hendrik Anton Lorentz (1853 – 1928) dengan dibantu oleh Larmor, dalam tahun 1900 membuat kalkulasi matematis yang disebut dengan transformasi Lorentz.

Eintein membuat penafsiran atas hasil percobaan interferemeter Michelson-Morley sebagai berikut:

1. Kecepatan cahaya invarian, tidak terpengaruh oleh gerak pengamat dan benda yang diamati,
2. Interval waktu dan interval ruang relatif tergantung dari keadaan gerak pengamat dan benda yang diamati. (Invarian maksudnya laju cahaya itu tetap terhadap sistem apa saja. Jadi kecepatan cahaya terhadap bumi, atau terhadap bulan, atau terhadap matahari tetap 299 792 km/detik).

Relatifnya waktu ada dua jenis. Pertama, yang berhubungan dengan yang dapat disentuh oleh jisim (tubuh kasar) manusia melalui hasil pengukuran instrumen. Dalam hal ini waktu itu relatif tergantung dari keadaan gerak pengamat dan substansi yang diamati. Kedua, yang berhubungan dengan perasaan dalam jiwa (tubuh halus) manusia. Waktu relatif tergantung dari keadaan jiwa, jika dalam keadaan senang, rasanya sebentar, namun kalau menunggu sesuatu, rasanya lama.

Einstein memperkembang pernyataan (2) di atas, yang disimpulkan dari hasil transformasi Lorentz, bahwa massa bendapun sama keadaanya dengan waktu dan ruang yaitu relatif tergantung pada keadaan gerak benda. Hasil akhir Teori Relativitas Khusus menunjukkan adanya hubungan antara energi dan massa. Tenaga kinetis tidak lagi dinyatakan dalam pernyataan yang umum dikenal dalam mekanika klasik, E = ½ mv², melainkan dalam bentuk deret:

E = mc² + ½ m v² + (3/8) m(v⁴/c²) + …….

Jika v sangat kecil dibandingkan dengan c, maka suku yang ketiga dan seterusnya dapat diabaikan, dan yang tinggal adalah suku pertama dan kedua. Suku yang kedua kita telah kenal betul dalam mekanika klasik seperti yang telah dituliskan rumusnya di atas, E = ½ mv², sedangkan suku yang pertama baru kita kenal. Pernyataan mc² tidak tergantung dari kecepatan benda, sebab itu disebut energi diam (rest energy). Dengan memperhatikan transformasi Lorentz, akan diperoleh hasil, jika energi kinetis suatu sistem berkurang, energi diamnya akan bertambah, dan dengan demikian beberapa dari massa diam dari sistem itu harus bertambah. Kesimpulannya ialah terdapat kesetaraan antara energi dengan massa:

E = mc²

Inilah hasil akhir yang penting dari Teori Relativitas Khusus. Pernyataan kesetaraan antara energi dan massa di atas itu baru dapat dibuktikan kebenarannya setelah Otto Hahn (1879 – ? ) bersama-sama dengan Lise Meitner (1878 – ? ) dalam tahun 1939 berhasil memecahkan inti atom dalam laboratorium Institut Kaisar Wilhelm di Berlin. Dengan diungkapkannya proses transformasi nuklir hasil gempuran unsur-unsur oleh partikel-partikel alpha, proton, deuteron dan sinar gamma, pernyataan kesetaraan antara energi dengan massa dari Einstein itu telah terbukti secara ujicoba dengan kadar ketelitian yang tinggi.

Teori Relativitas Umum

Teori Relativitas Umum diperkenalkan oleh Albert Einstein pertama kali di hadapan Prussian Academy of Science, pada 25 November 1915.

Teori Relativitas Umum menjelaskan bahwa gelombang elektromagnetik tidak sesuai dengan teori gerakan Newton. Menurut Newton, gravitasi dianggap sebagai kekuatan penarik, di mana planet-planet bergerak mengelilingi matahari dalam bentuk lingkaran elips karena matahari memiliki kekuatan gravitasi yang amat besar.

Tetapi, menurut Einstein, gravitasi tidak dianggap sebagai kekuatan penarik, melainkan lebih sebagai kekuatan eksterior yang merupakan konsekuensi dari ruang dan waktu atau ruang-waktu. Rangkaian ruang-waktu empat-dimensi yang melengkung itu sering kali diilustrasikan seperti sebuah karet yang dimelarkan oleh benda bermassa—bintang, galaksi, dan lain-lain.

Benda bermassa seperti matahari melengkungkan ruang-waktu di sekelilingnya, dan planet-planet bergerak di sepanjang jalur melengkungnya ruang-waktu. Seperti yang dinyatakan Einstein, “Materi memberitahu ruang tentang cara melengkungkan atau memelarkan dirinya; ruang memberitahu materi tentang cara bergerak.”

Teori Relativitas Umum menggantikan Hukum Gravitasi Newton. Dalam Relativitas Umum, gravitasi bukan lagi sebuah gaya (seperti dalam Hukum Gravitasi Newton) melainkan sebuah konsekuensi dari kelengkungan (curvature) ruang-waktu. Relativitas Umum menunjukkan bahwa kelengkungan ruang-waktu terjadi akibat kehadiran massa.

Teori Relativitas Umum memprediksi dengan tepat sampai pada tingkatan apakah sebuah sinar cahaya akan terbentang ketika lewat di dekat matahari. Inti Teori Relativitas Umum adalah jika materi diubah menjadi energi, maka energi yang dilepaskan dapat ditunjukkan dalam rumus E=MC2. E sama dengan energi, C adalah kecepatan cahaya, dan M mewakili massa.

Rumus tersebut menyiratkan bahwa massa yang kecil dapat diubah menjadi energi yang amat besar. Jika disimpulkan dalam satu kalimat, maka keberadaan ruang, waktu, dan gravitasi, tidak terpisahkan dari benda. Teori Relativitas Umum menjelaskan secara matematis landasan teoritis yang membuka jalan ke arah pengembangan senjata dan reaktor nuklir untuk memproduksi energi nuklir.